TEORI KOMBINATORIAL DAN PERCOBAAN BINOMIAL

TEORI KOMBINATORIAL

Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Kombinatorial dapat digunakan untuk menjawab soal semacam ini tanpa kita perlu mengenumerai semua kemungkinan jawabannya. Hal ini dapat dilakukan karena didalam kombinatorial terdapat kaidah dasar menghitung. Dan kombinator digunakan pada teori peluang diskrit untuk menghitung peluang suatu kejadian terjadi.

A.    Percobaan

Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan. Percobaan adala proses fisik yang hasilnya dapat diamati

Contoh :

1.      Melempar dadu

Enam hasil percobaan yang mungkin untuk pelemparan dadu adalah muka dadu 1,2,3,4,5 atau 6

2.      Melempar koin uang Rp 100

Hasil percobaan melempar koin 100 ada dua kemungkinan maka koin bergambar rumah gadang atau muka koin yang bergambar wayang.

B.     Kaidah Dasar Menghitung

Dua kaidah dasar yang digunakan sebagai teknik menghitung dalam kombinatrorial adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum).

a.       Kaidah Perkalian (rule of product)

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil maka,

Percobaan 1 dan percobaan 2:   p ´ q hasil

b.      Kaidah Penjumlahan (rule of sum)

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil maka,

Percobaan 1 atau percobaan 2:  p + q hasil

C.    Perluasan Kaidah Menghitung

Kaidah perkalian dan penjumlahan diatas dapat diperluas sehingga mengandung lebih dari dua buah percobaan. Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2, …,pn, hasil percobaan yang mungkin terjadi dalam hal ini setiap p1 tidak bergantung pada pilihan sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah :

a.         P1 x p2 x … x pn untuk kaidah perkalian.

b.         P1 + p2 + … + pn untuk kaidah penjumlahan.

D.    Prinsip Inklusi-Eksklusi

Informasi terkecil yang dapat disimpan di dalam memori computer adalah byte. Setiap byte disusun oleh 8 bit.

Example :

1.      Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’?

Answer :

Misalkan

A                = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’,

B                = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’

A Ç B = himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan ‘11’

maka

A È B = himpunan byte yang berawal dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’

½A½ = 2⁶ = 64,      

½B½ = 2⁶ = 64,     

½A Ç B½ = 2⁴ = 16.

maka

½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½

= 2⁶ + 2⁶ – 16   = 64 + 64 – 16 = 112.

E.     Permutasi

Permutasi adalah jumlah urutan yang berbeda dari pengaturan objek-objek. Juga merupakan bentuk khusus aplikasi dari n objek, urutan kedua dipilih dari n-1 objek, urutan ketiga dipilih dari n-2 objek, begitu seterusnya, dan urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian permutasi dari n objek adalah

N(n-1) (n-2) … (2)(1) = n!

Example :

1.      Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?

Answer :

Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata

Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata                                                                            

2.      Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?

Answer : P(25, 25) = 25!

Ada juga yang dikatakan permutasi melingkar. Yaitu penyusunan objek-objek yang megelilingi sebuah lingkaran (atau kurva tertutup sederhana). Jumlah susunan objek yang mengelilingi lingkaran adalah (n-1)!.

F.     Kombinasi

Bentuk khusus permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan urutan acb, bca, acb dianggap sama dan dihitung sekali.

Example :

1.      Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama dan ada 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.

Jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak :

2.      Bila sekarang jumlah bola 3 dan jumlah kotak 10, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah

karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama.

Kombinasi r elemen dari n elemen, atau  C(n, r),  adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.

Example from Interpretasi Kombinasi :

1.      C(n, r) = banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen.

Misalkan A = {1, 2, 3}

Jumlah Himpunan bagian dengan 2 elemen:

{1, 2} = {2, 1}

{1, 3} = {3, 1}    3   buah  atau

{2, 3} = {3, 2}

G.    Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

Misalkan: ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama - indistinguishable). n₁ bola diantaranya berwarna 1, n₂ bola diantaranya berwarna 2, n_k bola diantaranya berwarna k, dan n₁ + n₂ + … + n_k = n.

Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maks. 1 buah bola)?

Answer :

Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah   bola ke dalam n buah kotak adalah

P(n, n) = n!.

Dari pengaturan n buah bola itu,

·         ada n₁! cara memasukkan bola berwarna 1

·         ada n₂! cara memasukkan bola berwarna 2

·         ada n_k! cara memasukkan bola berwarna k

Permutasi n buah bola yang mana n₁ diantaranya berwarna 1, n₂ bola berwarna 2, …, n_k bola berwarna k adalah:

Dengan cara lain :

·         Ada C(n, n₁) cara untuk menempatkan n₁ buah bola yang berwarna 1.

·         Ada C(n – n₁, n₂) cara untuk menempatkan n₂ buah bola berwarna 2.

·         Ada C(n – n₁ – n₂, n₃) cara untuk menempatkan n3 buah bola berwarna 3.

·         Ada C(n – n₁ – n₂ – … –  n_k-1, n_k ) cara untuk menempatkan n_k buah bola berwarna k.

H.    Kombinasi dengan Pengulangan.

Tinjau kembali persoalan memasukkan bola ke dalam kotak. Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak.

Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak.

1.      Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola, maka jumlah cara memasukkannya boal kedalam kotak adalah C(n,r).

2.      Jika masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola), maka jumlah cara memasukkan bola kedalam kotak adalah C(n+r-1,r)

Contoh :

Pada persamaan x1  +x2+x3+x4=12, xi  adalah bilangan bulat ≥0 . Berapa jumla kemungkinan solusinya?

Penyelesaian:

Analogikan 12 buah bola akan dimasukkan kedalam 4 kotak, maka:

·         Kotak 1 diisi 3 buah bola (x1=3)

·         Kotak 2 diisi 5  buah bola (x2=5)

·         Kotak  3 diisi 2 buah bola (x3=2)

·         Kotak 4 diisi 2 buah bola  (x4=2)

sehingga,  x1 +x2+x3+x4=3+5+2+2=12

I.       Koefisien Binomial

1.      x+y0=1

2.      x+y1=x+y

3.      x+y2=x2+2xy+y2

4.      x+y3=x3+3x2y+3xy2+y3

5.      x+y4=x3+4x3y+6x2y2+4xy3+y4

6.      x+y5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5

Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan x+yn adalah

·         Suku pertama xn, sedangkan suku terakhir adalah yn

·         Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang satu sedangkan pangkat y bertambah satu. Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n.

·         Koefisien untuk xn-kyk, yaitu suku ke- (k+1) adalah C(n,k). Bilangan C(n,k) disebut koefisien binomial.

Aturan di atas  dapat di simpulkan bahwa:

x+yn=Cn,oxn+Cn,1xn-1y1+…+Cn,kxn-kyk+…+Cn,nyn

= k=0nC(n,k)xn-kyk

J.      Prinsip Sarang Merpati

Jika n+1 atau lebih objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi dua atau lebih objek. Prinsip sarang merpati dikemukakan oleh G.Lejeune Dirichlet,seorang matematikawan Jerman, sehingga kadang-kadang dinamakan juga prinsip kotak Dirichlet, karena Dirichlet sering menggunakan prinsip ini dalam pekerjaannya.

example :

Misalkan terdapat banyak bola merah,bola putih,dan bola biru di dalam sebuah kotak.Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak (tanpa melihat kedalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna sama terambil?

answer:

Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n=3 karena itu orang mengambil paling sedikit n+1=4 bola (merpati),maka dapat dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil.Jika hanya diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain.jadi, 4 buah bola adalah jumlah minimum yang harus diambil dari dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama.

DISTRIBUSI BINOMIAL

Sering dalam berbagai macam permasalahan peluang hanya memiliki dua kemungkinan hasil atau dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Sebagai contoh, ketika suatu koin dilempar, maka kita akan mendapat angka atau gambar. Ketika seorang bayi lahir, maka seorang bayi tersebut merupakan bayi laki-laki atau perempuan. Dalam permainan bola basket, tim yang bermain bisa menang atau kalah. Keadaan benar/salah tersebut dapat dijawab dengan dua cara, yaitu benar atau salah. Kondisi-kondisi lainnya dapat disederhanakan untuk menghasilkan dua kemungkinan. Sebagai contoh, suatu pengobatan medis dapat diklasifikasikan sebagai efektif atau tidak efektif, tergantung hasilnya. Seseorang dapat dikategorikan memiliki tekanan darah normal atau tidak normal, tergantung dari pengukuran tekanan darahnya. Pertanyaan-pertanyaan pilihan ganda, walaupun memiliki empat atau lima pilihan jawaban, dapat diklasifikasikan menjadi benar atau salah. Kondisi-kondisi yang telah dicontohkan tersebut dinamakan percobaan binomial.

Percobaan binomial merupakan suatu percobaan yang memenuhi empat syarat berikut:

1. Terdapat n kali percobaan.
2. Masing-masing percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal.
3. Hasil dari masing-masing percobaan haruslah saling bebas.
4. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan.

Suatu percobaan binomial dan hasilnya memberikan distribusi peluang khusus yang disebut sebagai distribusi binomial.

Hasil-hasil percobaan binomial dan peluang yang bersesuaian dari hasil tersebut dinamakan distribusi binomial.

Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban benar suatu pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses, sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal. Notasi-notasi yang umumnya digunakan dalam percobaan binomial dan distribusi binomial adalah sebagai berikut.

Peluang sukses dalam percobaan binomial dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut.

Rumus Peluang Binomial

Dalam suatu percobaan binomial, peluang untuk mendapatkan tepat X sukses dalam n percobaan adalah

Untuk mengetahui bagaimana ilustrasi dari rumus peluang binomial tersebut bermula, perhatikan Contoh 1 berikut.

Contoh 1: Melempar Koin

Suatu koin dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang mendapatkan tepat dua angka.

Pembahasan Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan melihat ruang sampelnya. Ruang sampel dari pelemparan satu koin sebanyak tiga kali adalah

S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}

Dari ruang sampel, kita dapat melihat bahwa ada tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka, yaitu AAG, AGA, dan GAA. Sehingga peluang kita mendapatkan tepat dua angka adalah 3/8 atau 0,375.

Dengan melihat kembali Contoh 1 dari sudut pandang percobaan binomial, maka contoh tersebut memenuhi keempat kriteria percobaan binomial.

1. Terdapat tiga kali percobaan.
2. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu angka (A) atau gambar (G).
3. Hasil dari masing-masing percobaan saling bebas (hasil dari suatu pelemparan tidak mempengaruhi hasil pelemparan lainnya).
4. Peluang percobaan sukses (angka) adalah ½ di setiap percobaannya.

Dalam kasus ini, n = 3, X = 2, p = ½, dan q = ½. Sehingga dengan mensubstitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita mendapatkan

Jawaban tersebut sama dengan jawaban kita sebelumnya yang menggunakan ruang sampel.

Contoh 1 tersebut juga dapat digunakan untuk menjelaskan rumus peluang binomial. Pertama, perhatikan bahwa terdapat tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka dan satu gambar dari delapan kemungkinan. Ketiga cara tersebut adalah AAG, AGA, dan GAA. Sehingga, dalam kasus ini banyaknya cara kita mendapatkan dua angka dari pelemparan koin sebanyak tiga kali adalah ₃C₂, atau 3. Secara umum, banyak cara untuk mendapatkan X sukses dari n percobaan tanpa memperhitungkan urutannya adalah

Ini merupakan bagian pertama rumus binomial. (Beberapa kalkulator dapat digunakan untuk menghitung kombinasi tersebut).

Selanjutnya, masing-masing sukses memiliki peluang ½ dan muncul sebanyak dua kali. Demikian juga masing-masing gagal memiliki peluang ½ dan muncul sekali. Sehingga akan memberikan,

pada rumus binomial. Sehingga apabila masing-masing percobaan sukses sukses memiliki peluang p dan muncul X kali serta peluang gagalnya adalah q dan muncul n – X kali, maka dengan menuliskan peluang percobaan sukses kita akan mendapatkan rumus binomial.

Sumber :
http://missblank28.blogspot.co.id/2013/12/kombinatorial-dan-peluang-diskrit.html

https://yos3prens.wordpress.com/2015/02/01/distribusi-binomial/#percobaan-binomial

Read more